Matemática discreta Ejemplos

$3^{x + 1} = 5^{x - 1}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (3^{x + 1}) = \ln (5^{x - 1})$

Paso 2

Expande $\ln (3^{x + 1})$ ; para ello, mueve $x + 1$ fuera del logaritmo.

$(x + 1) \ln (3) = \ln (5^{x - 1})$

Paso 3

Expande $\ln (5^{x - 1})$ ; para ello, mueve $x - 1$ fuera del logaritmo.

$(x + 1) \ln (3) = (x - 1) \ln (5)$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Simplifica $(x + 1) \ln (3)$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (x + 1) \ln (3) = (x - 1) \ln (5)$

Paso 4.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(x + 1) \ln (3) = (x - 1) \ln (5)$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (3) + 1 \ln (3) = (x - 1) \ln (5)$

Paso 4.1.4

Multiplica $\ln (3)$ por $1$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = (x - 1) \ln (5)$

Paso 4.2

Simplifica $(x - 1) \ln (5)$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) - 1 \ln (5)$

Paso 4.2.2

Reescribe $- 1 \ln (5)$ como $- \ln (5)$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) - \ln (5)$

Paso 4.3

Resta $x \ln (5)$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (3) + \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (5)$

Paso 4.4

Resta $\ln (3)$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (5) - \ln (3)$

Paso 4.5

Factoriza $x$ de $x \ln (3) - x \ln (5)$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) - x \ln (5) = - \ln (5) - \ln (3)$

Paso 4.5.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (5)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (5) - \ln (3)$

Paso 4.5.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5))$ .

$x (\ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (5) - \ln (3)$

Paso 4.6

Reescribe $- 1 \ln (5)$ como $- \ln (5)$ .

$x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (5) - \ln (3)$

Paso 4.7

Divide cada término en $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (5) - \ln (3)$ por $\ln (3) - \ln (5)$ y simplifica.

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Paso 4.7.1

Divide cada término en $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (5) - \ln (3)$ por $\ln (3) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (5)}{\ln (3) - \ln (5)} + \frac{- \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 4.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.7.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3) - \ln (5)$ .

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Paso 4.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (5)}{\ln (3) - \ln (5)} + \frac{- \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 4.7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (5)}{\ln (3) - \ln (5)} + \frac{- \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 4.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.7.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- \ln (5) - \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 4.7.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (5)$ .

$x = \frac{- \ln (5) - \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 4.7.3.3

Factoriza $- 1$ de $- \ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (5) - \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 4.7.3.4

Factoriza $- 1$ de $- \ln (5) - \ln (3)$ .

$x = \frac{- (\ln (5) + \ln (3))}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 4.7.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.7.3.5.1

Reescribe $- (\ln (5) + \ln (3))$ como $- 1 (\ln (5) + \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (5) + \ln (3))}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 4.7.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (5) + \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (5) + \ln (3)}{\ln (3) - \ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 5.30132020 \dots$